Ley de Gauss (electromagnetismo) (2)

Esta nueva entrada es la segunda parte de la entrada dedicada  la ley de Gauss, que nos permite encontrar el campo eléctrico generado por una distribución continua de carga en cualquier punto del espacio. En la entrada anterior se resolvió el ejemplo de la carga puntual y como encontrar el campo eléctrico generado por esta carga.
Pero si en vez de tener una carga puntual, tratamos de calcular el campo creado por un conductor, tenemos que aplicar aspectos geométricos asociados al conductor. Esta es una de las condiciones para la aplicación de la ley de Gauss, debe existir una ala simetría para su utilización.
Pongamos el ejemplo de una esfera hueca que tiene una densidad superficial de carga. Esto quiere decir que las cargas se distribuyen homogéneamente en la superficie del conductor. Este sería el caso más simple, ya que podemos encontrarnos con distribuciones no homogéneas de carga, pero este aspecto se tratará en entradas posteriores.
Esta densidad superficial de carga se puede expresar como cantidad de carga por unidad de superficie, según la expresión:

siendo S la superficie del conductor.
Vamos a ver un ejemplo de aplicación de la ley de Gauss para un conductor. Se nos pide calcular el campo eléctrico en cualquier punto del espacio creado por una esfera hueca con densidad superficial de carga.
En primer lugar veamos la situación:

Según el dibujo, tenemos un conductor esférico de radio R y se quiere calcular el campo eléctrico creado por este conductor en todo el espacio, es decir para un radio r<R, es decir dentro de la esfera y r>R fuera de la esfera. Recordar que las superficies punteadas son las superficies gaussianas, o sea las superficies que nos permiten encontrar el campo eléctrico.
para r<R:

en la expresión, la parte de la izquierda corresponde a la superficie gaussiana y la parte de la derecha al conductor.
La integral puede simplificarse de la siguiente manera:

esta simplificación siempre es posible, si se conoce la expresión de la superficie escogida. En este caso la superficie es una esfera, de la cual conocemos su expresión de superficie. Sustituimos pues, la expresión de la superficie de la esfera gaussiana.

Ahora analicemos la parte de la derecha de la ley de Gauss, que hace referencia a la carga interior a la superficie gaussiana. Es fácil ver que dentro de la superficie gaussiana para r<R no hay ninguna carga, de manera que es igual a 0 y por tanto:

así pues E=0, no hay campo eléctrico. Es decir, dentro de la esfera hueca con cargas en su superficie no hay ningún campo eléctrico.
para r>R:
la parte de la izquierda de la expresión de mantiene igual, de manera que:

pero la parte derecha cambia, ya que ahora dentro de la superficie gaussiana sí que tenemos carga, que en el fondo es la misma esfera cargada en su superficie.

Pero la carga la podemos expresar en función de la densidad superficial de carga según la expresión que hemos introducido al principio, y nos quedaría:

Pero, esta superficie a quien corresponde? como pertenece a quien tiene la carga, esta superficie es la del conductor, que tiene radio R. La expresión nos queda:

y el campo

como vemos, el campo fuera del conductor depende de su radio, R, y de la distancia al conductor, r.
El procedimiento que hemos visto es el que tenemos que utilizar la ley de Gauss para conductores. Os recomiendamos que sigáis los pasos que hemos explicado. También os recomendamos que intentéis calcular el campo eléctrico creado por un cilindro hueco que tiene densidad superficial de carga.
En la próxima entrada de Gauss resolveremos la esfera maciza.
Espero que os haya sido de utilidad.