Dependencia-independencia lineal

Quizás sea éste el concepto más importante en un curso de álgebra lineal, ya que los temas posteriores de una manera u otra acaban dependiendo de este concepto.

Pero ¿qué entendemos por dependencia? está claro que el concepto implica que algo depende de algo, por redundante que pueda parecer. En el caso del álgebra lineal, tenemos que volver al concepto de espacio y subespacio vectorial. Recordemos que ambos no son más que un conjunto de vectores que cumplen unas propiedades determinadas. Ahora imaginemos que tenemos un conjunto de vectores, de la misma dimensión, diremos que dos vectores son linealmente dependientes si uno de ellos depende, o es una combinación lineal del otro. Como el concepto puede parecer un poco difícil de entender, introduciremos un ejemplo:

Supongamos que tenemos los vectores (1,1) y (2,2). Sólo viéndolos es fácil suponer que el vector (2,2) es el doble que le vector (1,1), es decir, que si multiplicamos el vector (1,1) por 2, obtenemos el vector (2,2). Esto que ha sido tan sencillo de ver, implica que los vectores (1,1) y (2,2) son linealmente dependientes, ya que hemos obtenido uno a partir de la combinación (en este caso el producto por u escalar) del otro.

Este ejemplo es muy fácil, pero la cosa se complica cuando tenemos más de dos vectores y si la dimensión de éstos aumenta. Podemos generalizar el concepto de combinación lineal a la expresión:

u=lv+gw+wz, siendo u, v, w y z, vectores y los coeficientes l, g, w números reales que nos permitan realizar la operación.

Volviendo al ejemplo anterior, podemos ver que:

(2,2)=2(1,1),

es decir, el coeficiente es el valor 2.

Pero ¿qué pasa si tenemos tres vectores?, veamos.

Queremos saber si el vector (2,3) se obtiene como combinación lineal de los vectores (1,1) y (0,2). Vamos pues a utilizar el concepto general de combinación lineal:

(2,3)=l(1,1)+g(0,2)

operando tenemos:

2=l1+g0

3=l1+2g

resolviendo el sistema tenemos que,

l=2

g=1/2

es decir, existen dos coeficientes reales que permiten obtener el vector (2,3) a partir de los vectores (1,1) y (0,2) o lo que es lo mismo el vector (2,3) es combinación lineal de los vectores (1,1) y (0,2) o lo que es lo mismo los vectores (2,3), (1,1) y (0,2) son linealmente dependientes. Las tres definiciones dicen exactamente lo mismo pero con diferentes palabras. Lo importante es reconocer en las tres definiciones que quieren decir lo mismo.

En caso de que los coeficientes tuvieran un valor de cero, esto significaría que los vectores son linealmente dependientes o que no son combinación lineal.

Otra manera de saber si los vectores son o no combinación lineal es hacer el determinante, en caso de que el número de vectores y su dimensión permiten hacer un determinante. ¿Cómo se hace? Podemos poner los vectores en forma de columna y formar la matriz para, posteriormente calcular el determinante.

Pongamos un ejemplo: tenemos los vectores (-1,1,1), (1,-1,1) y (1,1,-1). Queremos saber si los vectores son linealmente dependientes. Para ello, ponemos los vectores en forma de columna hasta formar una matriz de 3x3.

Si calculamos el determinante de esta matriz, vemos que el resultado es 4. Hay una propiedad de los determinantes que nos dice que si hay una fila o una columna que es combinación de las otras, el valor del determinante es cero, en caso contrario el determinante tendrá un valor distinto de cero.

Así pues, los vectores que forman el determinante anterior son linealmente independientes.

Según el número de vectores, es más cómodo usar el determinante, ya que es más fácil calcular un determinante que resolver el sistema de ecuaciones con los coeficientes.
En caso de no poder montar una matriz cuadrada no queda más remedio que resolver el sistema de ecuaciones y determinar los coeficientes.
Espero que os sea de utilidad esta entrada.