Aplicaciones de la derivada (y 3) recta tangente

Aplicaciones de la derivada (y 3), cálculo de la recta tangente

En esta entrada explicamos como calcular una recta tangente a una curva en un punto a partir de la derivada.

Para el cálculo de la recta tangente a una curva se parte de la definición geométrica de la derivada. Recordemos que la derivada se define como el límite de un incremento cuando este incremento tiende a cero, es decir, se hace muy muy pequeño.

En este gráfico se representa la definición de la derivada. Lo más importante es que cuando el incremento de x se hace muy pequeño (tiende a cero), lo que se obtiene es la derivada, que a su vez no es más que la pendiente de la recta tangente a la curva.

Y a su vez, la definición geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto. Pero lo que se nos pedirá en los problemas será la recta tangente a la curva en un punto dado.
Para ello podemos utilizar la expresión:

donde a es el punto donde queremos calcular la recta tangente, f(a) es la imagen en la función del punto a y f'(a) es la imagen de la derivada en el punto a.
Aunque la expresión de la recta tangente puede demostrarse, no es necesario entrar en disquisiciones matemáticas para saber de donde podemos obtener la fórmula. Para los que estéis interesados os puedo decir que esta expresión parte de la misma definición de la recta como y=mx+n.

Veamos un ejemplo:

Calcular la recta tangente a la curva 

en el punto x=1.

En primer lugar recordar la expresión de la recta tangente para posteriormente ir sustituyendo cada una de las partes de la expresión.

en este caso a=1, ya que es el punto donde quiero calcular la derivada.
Vamos a por f(a)=f(x=1), donde sólo tenemos que sustituir x=1 en la función original:
y(x=1)=3
El siguiente paso es hacer la derivada:
y'=2x+3
Sustituyendo la x por 1 para obtener f'(1)=5
Ahora hagamos un resumen de los datos que tenemos:
x=1
f(1)=3
f'(1)=5
y sustituimos en la expresión de la recta tangente:
y-3=5(x-1) 
arreglamos la expresión y la recta tangente es:
y=5x-2
veamos ahora gráficamente tanto la curva como su tangente:

Cómo véis en el gráfico se representa la función y su recta tangente en el punto x=1.

Espero que os haya sido de utilidad.