Matemáticas, Física y más: Convergencia de series I

lunes, 9 de septiembre de 2013

Convergencia de series I

Convergencia de series (I)

Criterio del cociente

Una serie, resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. En caso de no tener este límite, la serie es divergente.

Para conocer si una serie es convergente o no, se utilizan diversos métodos, o comúnmente llamados, criterios. En esta entrada se tratará el criterio del cociente o d'Alembert. Este criterio dice lo siguiente:

$si \lim_{n\to\infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}< 1$

la serie es convergente.

Ejemplo
Estudiar la convergencia de la serie:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{e^{2n}\sqrt{n}}{(n!)^{2}}$

aplicando el criterio del cociente se tiene:

$\lim_{n\to\infty }\frac{e^{2(n+1)}\sqrt{n+1}}{(n+1!)^2}/\frac{e^{2n}\sqrt{n}}{(n!)^2}$
si se opera, aplicando las propiedades de potencias y factoriales, la expresión resultante es:

$\lim_{n\to\infty }\frac{e^{2}\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}(n+1)^{2}}=0<1$
por lo tanto la serie es convergente, al ser el límite del cociente menor que 1.

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lunes, 9 de septiembre de 2013

Convergencia de series I

Convergencia de series (I)

Criterio del cociente

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