Trabajo realizado por un campo de fuerzas

Cálculo

Trabajo realizado por un campo de fuerzas a lo largo de una trayectoria

Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.
Matemáticamente se define como una función:

donde asigna a cada punto de su dominio un vector.
El trabajo realizado por una fuerza se define como:

En este caso, la fuerza se expresa como un campo de fuerzas vectorial, mientras que esta fuerza actúa en una trayectoria concreta. Es decir, la trayectoria nos marca el camino por el cual actúa esta fuerza.
La trayectoria en la que actúa la fuerza acostumbra a darse en forma paramétrica y para la resolución de este tipo de problemas aplicaremos directamente la expresión del trabajo. Veamos un ejemplo:

Sea el campo de fuerzas:


Se pide calcular el trabajo realizado por esta fuerza si actúa a lo largo de la trayectoria:


Siendo,

En primer lugar encontramos la expresión de dr:


Ahora sustituimos en el campo de fuerzas, las variables x e y los valores que toman en la curva parametrizada.

Y finalmente sustituimos en la expresión del trabajo, la fuerza parametrizada y el valor de dr que hemos calculado antes, de manera que tenemos:


Arreglando al expresión e integrando nos da el resultado del trabajo realizado por este campo de fuerzas a lo largo de la trayectoria dad.
El resultado de la integral, y por tanto del trabajo es:


Este procedimiento es el que tenéis que seguir para encontrar el trabajo en un campo vectorial.