sábado, 18 de agosto de 2012

Funciones matemáticas (I)


En esta primera entrega referida a las funciones, se repasará el concepto de función, así como algunos de sus tipos más importantes.
Una función matemática se define como una aplicación que asigna a un elemento de un conjunto un valor de un segundo conjunto. Al primer valor se le denomina variable independiente y al segundo valor variable dependiente o imagen.
Por regla general, las funciones de una variable se notan según f(x), siendo x la variable independiente. Las funciones pueden también designarse con la letra y, de manera que y=f(x).
Existen diferentes tipos de funciones según las características de la función algebraica. Los tipos de funciones más importantes son:

Función lineal
Esta función es la que corresponde a la expresión de una recta, de manera que estas funciones se escriben de la forma:
y=ax+b
Donde a es la pendiente de la recta y b el término independiente o punto de corte de la recta con el eje de las y. Cuando el término a es positivo la recta tiene pendiente positiva y por tanto “sube”, mientras que en caso de que sea negativo la pendiente será negativa y por tanto al recta “baja”. En el siguiente ejemplo se ha realizado el gráfico de las funciones y=2x+1 e y=-x+3


Para representar gráficamente una recta solo son necesarios dos valores de la función, de manera que se puede hacer una tabla de valores, donde introduciendo dos valores de x se obtienen los valores de y necesarios para la representación de la función.

Funciones parabólicas
Son funciones de la forma y=ax2+bx+c, y su forma es la de una parábola. Los coeficientes a, b y c, determinan la posición y orientación de la parábola. En estas funciones el coeficiente a siempre tiene que existir, mientras que los otros coeficientes no necesariamente tienen que encontrarse en la expresión de la parábola. La parábola viene caracterizada por sus ramas, por su vértice y por los puntos de corte con el eje de las y. Si el vértice es un máximo las ramas de la parábola se orientan hacia abajo, mientras que si el vértice es un mínimo las ramas se orientan hacia arriba (ver gráfico).
Vamos a analizar cómo es la parábola según la existencia de los coeficientes anteriormente mencionados.
Si sólo existe el parámetro a, existen dos posibilidades según el signo de a. Cuando es positivo las ramas de la parábola van hacia arriba y si es negativo hacia abajo.



El segundo caso es la no existencia del parámetro b, de manera que la expresión de la parábola sea y=ax2+c.
En este caso, el valor de c corresponde al valor de la imagen del vértice la parábola (ver gráfico).



Como se puede ver en el gráfico anterior el valor de c indica la posición del vértice de la parábola.

Por último el caso en el que existen los tres coeficientes, donde se puede ver que el coeficiente b, es el responsable del “movimiento lateral” de la parábola, aunque se tiene que tener en cuenta que su valor no representa el valor que se desplaza la parábola.



Para la representación de una parábola, se necesita la posición del vértice y el corte de la parábola con el eje de las y. El vértice puede calcularse según la expresión:
xvértice=-b/2a, mientras que el corte con el eje y se calcula igualando a cero la expresión de la parábola.


Funciones polinómicas
Los dos tipos de funciones anteriormente descritos están comprendidas dentro de un grupo mayor de funciones que son las polinómicas, pero se han tratado aparte por su importancia y por tener cada una su nombre concreto.
Las funciones polinómicas se describen según la expresión
y=a0+a1x+a2x2+a3x3+….
Estas funciones, igual que las parábolas se definen por sus puntos de corte y por sus vértices, pero no existe expresión definida para el cálculo de los vértices en una función polinómica. A modo de ejemplo se ha introducido el gráfico de una función polinómica de grado 3.



En la próxima entrada se repasarán los otros tipos de funciones también importantes como son las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.




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