Convergencia de series II

Convergencia de series (II)

Criterio de la raíz

En la entrada anterior se definió el concepto de convergencia de una serie, así como que existen diferentes criterios que permiten conocer si una serie converge a un valor o no.

El criterio del cociente o de d'Alembert, fue el comentado y explicado en la entrada anterior. En esta nueva entrada se tratará el criterio de la raíz o de Cauchy. Este criterio dice que una serie como:

se define C, como:



entonces,
si C < 1, la serie es convergente
si C > 1, la serie es divergente

Para ver como se aplica el criterio de la raíz, se desarrolla un ejemplo a continuación.

Estudiar la convergencia de la serie:



se aplica el criterio de la raíz, de tal forma que:



el valor del límite es 0, de manera que la serie es convergente.
Este criterio se utiliza en el caso de tener términos generales de la serie que contienen expresiones elevadas a n, de tal manera que al aplicar la raíz enésima, este exponente desaparece y permite el cálculo del límite.

Convergencia de series I

Convergencia de series (I)

Criterio del cociente

Una serie, resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. En caso de no tener este límite, la serie es divergente.

Para conocer si una serie es convergente o no, se utilizan diversos métodos, o comúnmente llamados, criterios. En esta entrada se tratará el criterio del cociente o d'Alembert. Este criterio dice lo siguiente:

la serie es convergente.

Ejemplo
Estudiar la convergencia de la serie:




aplicando el criterio del cociente se tiene:


si se opera, aplicando las propiedades de potencias y factoriales, la expresión resultante es:


por lo tanto la serie es convergente, al ser el límite del cociente menor que 1.

Trabajo realizado por un campo de fuerzas

Cálculo

Trabajo realizado por un campo de fuerzas a lo largo de una trayectoria

Un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.
Matemáticamente se define como una función:

donde asigna a cada punto de su dominio un vector.
El trabajo realizado por una fuerza se define como:

En este caso, la fuerza se expresa como un campo de fuerzas vectorial, mientras que esta fuerza actúa en una trayectoria concreta. Es decir, la trayectoria nos marca el camino por el cual actúa esta fuerza.
La trayectoria en la que actúa la fuerza acostumbra a darse en forma paramétrica y para la resolución de este tipo de problemas aplicaremos directamente la expresión del trabajo. Veamos un ejemplo:

Sea el campo de fuerzas:


Se pide calcular el trabajo realizado por esta fuerza si actúa a lo largo de la trayectoria:


Siendo,

En primer lugar encontramos la expresión de dr:


Ahora sustituimos en el campo de fuerzas, las variables x e y los valores que toman en la curva parametrizada.

Y finalmente sustituimos en la expresión del trabajo, la fuerza parametrizada y el valor de dr que hemos calculado antes, de manera que tenemos:


Arreglando al expresión e integrando nos da el resultado del trabajo realizado por este campo de fuerzas a lo largo de la trayectoria dad.
El resultado de la integral, y por tanto del trabajo es:


Este procedimiento es el que tenéis que seguir para encontrar el trabajo en un campo vectorial.

Distribución de cargas puntuales (cálculo del campo eléctrico)

Cálculo del campo eléctrico creado por una distribución de cargas puntuales

Hola a todos,

En esta nueva entrada, os presentamos un video donde se explica como calcular el campo eléctrico creado por una distribución de cargas puntuales.
Para la realización de estos problemas, es muy cómodo trabajar con los vectores que nos representan al campo eléctrico creado por cada una de las cargas. Una vez representados cada uno de los vectores del campo eléctrico, podemos, mediante un simple cálculo vectorial, encontrar la expresión del campo total creado por la distribución de cargas.
En el ejemplo que presentamos, se trata la distribución de tres cargas situadas en los vértices de un cuadrado y se nos pide encontrar el campo creado por estas tres cargas en el vértice libre del cuadrado. Como veréis, para tratar el problema se ha dibujado el vector del campo creado por cada una de las cargas en el vértice donde queremos calcular el campo. Posteriormente, con el cálculo vectorial, se encuentra la expresión del campo creado en cada una de las coordenadas del espacio. Una vez encontrada esta expresión general, sólo es necesario sustituir el valor del campo creado por cada carga.

Sistemas de ecuaciones (II)

Álgebra

Sistemas de ecuaciones (II)

Hola a tod@s,
En esta entrada continuaremos analizando y resolviendo los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones que podemos encontrar, como continuación de la primera entrada dedicada a los sistema de ecuaciones.
En esta entrada nos centraremos en los sistemas compatibles indeterminados, que son aquellos que tiene infinitas soluciones. Estos sistemas son, en el fondo, aquellos en los que tenemos más incógnitas que ecuaciones, de manera que nos "faltan" ecuaciones. Para resolver este tipo de sistemas, tenemos que fijar una de las variables (incógnitas) y dejar las otras en función de ésta fijada.
Para ello, incluimos un video con un ejemplo de resolución de este tipo de sistemas.

En la próxima entrada dedicada a sistemas aumentaremos la complejidad de los ejercicios.

Muelles

Mecánica

Problema de la composición de muelles

Hola a tod@s,
En esta entrada os proponemos que veáis un video sobre la composición de muelles. es decir, que sucede en el movimiento armónico simple, si en vez de un muelles tenemos una composición de muelles. hemos escogido el caso en el que los muelles están en paralelo y de ellos pende una masa. Ambos muelles tienen la misma constante de elasticidad.
Para resolver el problema tenemos que centrarnos en como es el movimiento de cada muelle por separado y ver que le ocurre al conjunto.
Pero mejor será que miréis el video.

Hasta pronto.

Derivadas parciales y gradiente

Cálculo

Derivadas parciales y gradiente

Hola a tod@s,

Por motivos técnicos hemos estado una temporada sin poder escribir ninguna entrada, pero ahora volvemos con un video dedicado a las derivadas parciales y al concepto de gradiente.
Para poder explicar el concepto de derivada parcial, es necesario conocer el concepto de función de varias variables. Este tipo de funciones son aquellas que dependen de más de una variable, de manera que una función que dependa de x e y puede ser representada como una curva tridimensional.
En esta entrada introduciremos el concepto de derivada parcial y como se calcula, para en próximas entradas profundizar en el concepto tanto matemático como geométrico así como sus aplicaciones en el estudio de la continuidad de funciones de varias variables.



Esperamos que esta entrada os sea de utilidad.

Hasta pronto