Distribución de cargas puntuales (cálculo del campo eléctrico)

Cálculo del campo eléctrico creado por una distribución de cargas puntuales

Hola a todos,

En esta nueva entrada, os presentamos un video donde se explica como calcular el campo eléctrico creado por una distribución de cargas puntuales.
Para la realización de estos problemas, es muy cómodo trabajar con los vectores que nos representan al campo eléctrico creado por cada una de las cargas. Una vez representados cada uno de los vectores del campo eléctrico, podemos, mediante un simple cálculo vectorial, encontrar la expresión del campo total creado por la distribución de cargas.
En el ejemplo que presentamos, se trata la distribución de tres cargas situadas en los vértices de un cuadrado y se nos pide encontrar el campo creado por estas tres cargas en el vértice libre del cuadrado. Como veréis, para tratar el problema se ha dibujado el vector del campo creado por cada una de las cargas en el vértice donde queremos calcular el campo. Posteriormente, con el cálculo vectorial, se encuentra la expresión del campo creado en cada una de las coordenadas del espacio. Una vez encontrada esta expresión general, sólo es necesario sustituir el valor del campo creado por cada carga.

Potencial condensador esférico

Cálculo del potencial de un condensador esférico

En esta entrada colgamos un video donde se explica como calcular el potencial de un condensador esférico. Un condensador de este tipo está formado por dos esferas conductoras concéntricas, cargadas positiva y negativamente, de manera que se crean un campo y un potencial eléctrico entre ellas.
Para el cálculo del potencial, en primer lugar debemos calcular el campo eléctrico mediante la ley de Gauss para, posteriormente, encontrar el potencial, mediante la expresión:

Os dejamos el video, y esperamos que os sea de utilidad.

Gracias y hasta pronto.

Ley de Gauss (electromagnetismo) (2)

Esta nueva entrada es la segunda parte de la entrada dedicada  la ley de Gauss, que nos permite encontrar el campo eléctrico generado por una distribución continua de carga en cualquier punto del espacio. En la entrada anterior se resolvió el ejemplo de la carga puntual y como encontrar el campo eléctrico generado por esta carga.
Pero si en vez de tener una carga puntual, tratamos de calcular el campo creado por un conductor, tenemos que aplicar aspectos geométricos asociados al conductor. Esta es una de las condiciones para la aplicación de la ley de Gauss, debe existir una ala simetría para su utilización.
Pongamos el ejemplo de una esfera hueca que tiene una densidad superficial de carga. Esto quiere decir que las cargas se distribuyen homogéneamente en la superficie del conductor. Este sería el caso más simple, ya que podemos encontrarnos con distribuciones no homogéneas de carga, pero este aspecto se tratará en entradas posteriores.
Esta densidad superficial de carga se puede expresar como cantidad de carga por unidad de superficie, según la expresión:

siendo S la superficie del conductor.
Vamos a ver un ejemplo de aplicación de la ley de Gauss para un conductor. Se nos pide calcular el campo eléctrico en cualquier punto del espacio creado por una esfera hueca con densidad superficial de carga.
En primer lugar veamos la situación:

Según el dibujo, tenemos un conductor esférico de radio R y se quiere calcular el campo eléctrico creado por este conductor en todo el espacio, es decir para un radio r<R, es decir dentro de la esfera y r>R fuera de la esfera. Recordar que las superficies punteadas son las superficies gaussianas, o sea las superficies que nos permiten encontrar el campo eléctrico.
para r<R:

en la expresión, la parte de la izquierda corresponde a la superficie gaussiana y la parte de la derecha al conductor.
La integral puede simplificarse de la siguiente manera:

esta simplificación siempre es posible, si se conoce la expresión de la superficie escogida. En este caso la superficie es una esfera, de la cual conocemos su expresión de superficie. Sustituimos pues, la expresión de la superficie de la esfera gaussiana.

Ahora analicemos la parte de la derecha de la ley de Gauss, que hace referencia a la carga interior a la superficie gaussiana. Es fácil ver que dentro de la superficie gaussiana para r<R no hay ninguna carga, de manera que es igual a 0 y por tanto:

así pues E=0, no hay campo eléctrico. Es decir, dentro de la esfera hueca con cargas en su superficie no hay ningún campo eléctrico.
para r>R:
la parte de la izquierda de la expresión de mantiene igual, de manera que:

pero la parte derecha cambia, ya que ahora dentro de la superficie gaussiana sí que tenemos carga, que en el fondo es la misma esfera cargada en su superficie.

Pero la carga la podemos expresar en función de la densidad superficial de carga según la expresión que hemos introducido al principio, y nos quedaría:

Pero, esta superficie a quien corresponde? como pertenece a quien tiene la carga, esta superficie es la del conductor, que tiene radio R. La expresión nos queda:

y el campo

como vemos, el campo fuera del conductor depende de su radio, R, y de la distancia al conductor, r.
El procedimiento que hemos visto es el que tenemos que utilizar la ley de Gauss para conductores. Os recomiendamos que sigáis los pasos que hemos explicado. También os recomendamos que intentéis calcular el campo eléctrico creado por un cilindro hueco que tiene densidad superficial de carga.
En la próxima entrada de Gauss resolveremos la esfera maciza.
Espero que os haya sido de utilidad.

Ley de Gauss (electromagnetismo)

La ley de Gauss permite el cálculo del campo eléctrico para superficies con alta simetría y nos dice:

 

¿Qué representa esta expresión?, nos dice que la integral en una superficie cerrada del campo por una superficie es igual a la carga interior partida por la constante dieléctrica.

Vamos a intentar aclarar qué quiere decir esto. El miembro de la izquierda representa el flujo de campo eléctrico, que no es más que la cantidad de campo eléctrico que pasa por unidad de superficie.

En esta explicación de la ley de Gauss no hemos hecho referencia a todo el formalismo matemático, ya que esta ley proviene de un teorema matemático mucho más general (teorema de la divergencia).

El siguiente concepto que es necesario introducir es el concepto de densidad de carga. Para entender su significado pensemos en la densidad de un cuerpo, que se define como la masa por unidad de volumen. Pues bien, en densidad de carga eléctrica podemos encontrar densidad lineal, superficial y volúmica de carga. Esto quiere decir que las cargas eléctricas están distribuidas en una recta, en una superficie y en un volumen.

Vamos a ver un ejemplo de aplicación de la ley de Gauss. Supongamos que tenemos una carga eléctrica y queremos calcular el campo eléctrico que genera esta carga en todo el espacio. Aunque ya conocemos la respuesta por la misma fórmula del campo eléctrico, usaremos la ley de Gauss.

Si analizamos la ley de Gauss, el miembro de la izquierda representa la superficie gaussiana sobre la que calcularemos el campo. Esta superficie la ponemos nosotros y tiene que ser simétrica para que el campo tenga el mismo valor en cada punto de esta superficie.

En el caso de una carga puntual, la superficie gaussiana a escoger será una esfera, ya que en todos los puntos de su superficie el valor del campo será el mismo. 

En la figura podemos ver la superficie gaussiana que envuelve a la carga puntual.
Pero ahora, ¿cómo vamos a calcular el campo eléctrico? En primer lugar es importante recordar que el campo eléctrico es un vector y por tanto tiene una dirección. El diferencial de superficie de la fórmula también es un vector. ¿Qué pasa si los vectores son perpendiculares?, que su producto escalar es cero. Es por ello, que es condición indispensable que los vectores E y dS sean paralelos. Recordar que las lineas de campo eléctrico salen de las cargas negativas y van a las positivas, èro en este caso nos es igual el signo de la carga, ya que lo único que nos interesa es su dirección ya que debe ser paralela al dS. ¿Qué pasa con dS? Pues bien, sin entrar en disquisiciones matemáticas, asumiremos que el dS siempre es perpendicular a la superficie que representa.

Como vemos en la imagen el vector de campo eléctrico sale de la carga y es paralelo al vector dS. Pero ahora queda resolver la integral, que como veremos es muy fácil. El por qué es bien simple, si nuestra integral es sobre una curva cerrada para un dS, ¿qué pasa si integramos el dS sobre toda la superficie?, pues que lo que obtenemos es la expresión de la superfície para la geometría que tenemos. En palabras más sencillas, la integral sobre toda la superfície no es más que la fórmula de la superficie de una esfera.

Después de todo esto, ¿como nos queda la expresión para este caso dado?

Como vemos, la expresión inicial se ha simplificado mucho, resultando una ecuación con variables conocidas, que son:
E: campo eléctrico
S:superfície de la esfera, que corresponde a la superfície gaussiana elegida, siendo r, el punto donde queremos calcular el campo eléctrico.
La ley de Gauss para este caso queda pues:




Que es de sobras conocida, ya que es el campo E creado por una carga puntual en cualquier punto del espacio.
Sólo queda explicar cual es el significado de Qint. Representa la carga interior a la superficie gaussiana. Esto quiere decir que si no hay carga dentro de la superficie gaussiana, el campo E es 0. Consejo: dibujad todas las superficies gaussianas posibles que contengan y no la carga o conductor para encontrar el campo en todos los puntos del espacio.
En próximas entradas de nuestro blog, se profundizará tanto en el formalismo matemático que conlleva la ley de Gauss, así como ejemplos más complejos de aplicación de esta misma ley.