Ejemplo distribución binomial

En esta entrada veremos un ejemplo de distribución de probabilidad de tipo binomial. Recordar que este tipo de distribución es aquella en la que se repite n veces un experimento que tiene una pobabilidad p de éxito y una probabilidad q=1-p de fracaso.
El enunciado del problema es el siguiente:
La probabilidad de que un alumno acabe sus estudios es del 30%. Si en un curso hay 10 alumnos, cual es la probabilidad de que acaben 2 alumnos?
En primer lugar podemos ver que el enunciado nos da una probabilidad de éxito (acabar estudios), una de fracaso (no acabar) y cual es el número de experimentos (alumnos) que se han realizado. Es importante fijarse que todos estos datos nos conducen a la conclusión de que se trata de una distribución binomial. Recordar que en los problemas de distribuciones de probabilidad, en primer lugar es necesario identificar de que tipo se trata. Lo más cómodo, es fijarse en que tipos de datos nos dan y a cual de las distribuciones mejor se ajusta.
El siguiente paso será resolver el problema. Vemos que nos piden cual es la probabilidad de que acaben 2 alumnos, es decir, k=2. Ahora usaremos la expresión de la distribución binomial:

y sustituiremos los valores que nos da el enunciado:
donde p=0,3, q=0,7, n=10 y k=2
Mucho cuidado al realizar la operación, ya que hay muchas posibilidades de equivocarse. Os recomiendo que empecéis por el binomio (os lo hace la calculadora) y después las dos potencias.

O sea, que la probabilidad de que acaben 2 alumnos es del 23%.
Os propongo que sustituyáis p=0,1 n=15 y k=10 y calculéis la nueva probabilidad. Importante también que os cuestionéis el resultado. Tenéis que ser capaces de ver si el resultado es coherente con los datos del enunciado.

Vamos a complicar un poco más el problema. Supongamos que tenemos los mismos datos que el enunciado y nos piden que encontremos la probabilidad de que acaben sus estudios como mucho 3 alumnos. ¿Qué nos quiere decir el enunciado?que acaben 1, 2, 3 o ninguno. Importantísimo ver que ningún alumno puede que no acabe y tiene una probabilidad asociada. ¿Cómo lo resolveremos?
Pues bien, usaremos una ley que nos dice que la probabilidad de la unión de sucesos es la suma de probabilidades, es decir:
P(X<3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)
siendo cada una de la probabilidades la que encontraremos mediante la fórmula de la distribución binomial. Como podéis comprobar el cálculo es lento y pesado, y es por ello que os animo a que lo hagáis a modo de práctica y igual que os he dicho antes, criticad el resultado y ved si es coherente.
En la próxima entrega dedicada a la probabilidad pondremos un ejemplo de una distribución de Poisson.
Muchas gracias y espero que esta entrada os sea de utilidad.

Distribuciones de probabilidad discretas

Hola a tod@s,
En la entrada de hoy hablaremos de las distribuciones de probabilidad discretas. No podremos hacer referencia a todas ellas pero sí a las más importantes.

En primer lugar definiremos una una variable aleatoria discreta, que es aquella que sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Una función de distribución de una variable aleatoria discreta se define como la probabilidad de que la variable tome un valor igual o inferior a un valor dado.

Recordar que la probabilidad siempre es un valor comprendido entre 0 y 1.
Existen diferentes tipos de funciones de probabilidad discretas, pero las más importantes son las de Bernoulli, Binomial y Poisson.
La función de Bernoulli consiste en realizar un experimento aleatorio una única vez, con p la probabilidad de éxito (que suceda) y 1-p la probabilidad de fracaso (que no suceda).
Si repetimos el experimento n veces tenemos la distribución de probabilidad binomial. En el caso de la distribución binomial los datos a evaluar son: la probabilidad de éxito, p, de fracaso, 1-p y las veces que se repite el experimento, n. La expresión utilizada para calcular la probabilidad de que la variable tome un valor k es:

La última función de distribución discreta es la distribución de Poisson. En esta distribución se dan en sucesos con probabilidades de éxito muy bajas y normalmente en sucesos relacionados con un intervalo de tiempo. Las distribuciones de Poisson se caracterizan por un parámetro que representa el número de veces que ocurre el suceso que estamos estudiando. El cálculo de la probabilidad para una distribución de Poisson es:

Siendo lambda el parámetro característico de la distribució de Poisson.

Hasta aquí hemos hecho un pequeño resumen de las diferentes distribuciones discretas de probabilidad. En próximas entradas introduciremos ejemplos de cada una de las distribuciones.

Espero que os sea de utilidad. Os recomiendo que practiquéis cálculos con números al azar, ya que las fórmulas no son fáciles de aplicar y podéis haceros un pequeño lio al principio.