Ley de Gauss (electromagnetismo)

La ley de Gauss permite el cálculo del campo eléctrico para superficies con alta simetría y nos dice:

 

¿Qué representa esta expresión?, nos dice que la integral en una superficie cerrada del campo por una superficie es igual a la carga interior partida por la constante dieléctrica.

Vamos a intentar aclarar qué quiere decir esto. El miembro de la izquierda representa el flujo de campo eléctrico, que no es más que la cantidad de campo eléctrico que pasa por unidad de superficie.

En esta explicación de la ley de Gauss no hemos hecho referencia a todo el formalismo matemático, ya que esta ley proviene de un teorema matemático mucho más general (teorema de la divergencia).

El siguiente concepto que es necesario introducir es el concepto de densidad de carga. Para entender su significado pensemos en la densidad de un cuerpo, que se define como la masa por unidad de volumen. Pues bien, en densidad de carga eléctrica podemos encontrar densidad lineal, superficial y volúmica de carga. Esto quiere decir que las cargas eléctricas están distribuidas en una recta, en una superficie y en un volumen.

Vamos a ver un ejemplo de aplicación de la ley de Gauss. Supongamos que tenemos una carga eléctrica y queremos calcular el campo eléctrico que genera esta carga en todo el espacio. Aunque ya conocemos la respuesta por la misma fórmula del campo eléctrico, usaremos la ley de Gauss.

Si analizamos la ley de Gauss, el miembro de la izquierda representa la superficie gaussiana sobre la que calcularemos el campo. Esta superficie la ponemos nosotros y tiene que ser simétrica para que el campo tenga el mismo valor en cada punto de esta superficie.

En el caso de una carga puntual, la superficie gaussiana a escoger será una esfera, ya que en todos los puntos de su superficie el valor del campo será el mismo. 

En la figura podemos ver la superficie gaussiana que envuelve a la carga puntual.
Pero ahora, ¿cómo vamos a calcular el campo eléctrico? En primer lugar es importante recordar que el campo eléctrico es un vector y por tanto tiene una dirección. El diferencial de superficie de la fórmula también es un vector. ¿Qué pasa si los vectores son perpendiculares?, que su producto escalar es cero. Es por ello, que es condición indispensable que los vectores E y dS sean paralelos. Recordar que las lineas de campo eléctrico salen de las cargas negativas y van a las positivas, èro en este caso nos es igual el signo de la carga, ya que lo único que nos interesa es su dirección ya que debe ser paralela al dS. ¿Qué pasa con dS? Pues bien, sin entrar en disquisiciones matemáticas, asumiremos que el dS siempre es perpendicular a la superficie que representa.

Como vemos en la imagen el vector de campo eléctrico sale de la carga y es paralelo al vector dS. Pero ahora queda resolver la integral, que como veremos es muy fácil. El por qué es bien simple, si nuestra integral es sobre una curva cerrada para un dS, ¿qué pasa si integramos el dS sobre toda la superficie?, pues que lo que obtenemos es la expresión de la superfície para la geometría que tenemos. En palabras más sencillas, la integral sobre toda la superfície no es más que la fórmula de la superficie de una esfera.

Después de todo esto, ¿como nos queda la expresión para este caso dado?

Como vemos, la expresión inicial se ha simplificado mucho, resultando una ecuación con variables conocidas, que son:
E: campo eléctrico
S:superfície de la esfera, que corresponde a la superfície gaussiana elegida, siendo r, el punto donde queremos calcular el campo eléctrico.
La ley de Gauss para este caso queda pues:




Que es de sobras conocida, ya que es el campo E creado por una carga puntual en cualquier punto del espacio.
Sólo queda explicar cual es el significado de Qint. Representa la carga interior a la superficie gaussiana. Esto quiere decir que si no hay carga dentro de la superficie gaussiana, el campo E es 0. Consejo: dibujad todas las superficies gaussianas posibles que contengan y no la carga o conductor para encontrar el campo en todos los puntos del espacio.
En próximas entradas de nuestro blog, se profundizará tanto en el formalismo matemático que conlleva la ley de Gauss, así como ejemplos más complejos de aplicación de esta misma ley.

  

Dependencia-independencia lineal

Quizás sea éste el concepto más importante en un curso de álgebra lineal, ya que los temas posteriores de una manera u otra acaban dependiendo de este concepto.

Pero ¿qué entendemos por dependencia? está claro que el concepto implica que algo depende de algo, por redundante que pueda parecer. En el caso del álgebra lineal, tenemos que volver al concepto de espacio y subespacio vectorial. Recordemos que ambos no son más que un conjunto de vectores que cumplen unas propiedades determinadas. Ahora imaginemos que tenemos un conjunto de vectores, de la misma dimensión, diremos que dos vectores son linealmente dependientes si uno de ellos depende, o es una combinación lineal del otro. Como el concepto puede parecer un poco difícil de entender, introduciremos un ejemplo:

Supongamos que tenemos los vectores (1,1) y (2,2). Sólo viéndolos es fácil suponer que el vector (2,2) es el doble que le vector (1,1), es decir, que si multiplicamos el vector (1,1) por 2, obtenemos el vector (2,2). Esto que ha sido tan sencillo de ver, implica que los vectores (1,1) y (2,2) son linealmente dependientes, ya que hemos obtenido uno a partir de la combinación (en este caso el producto por u escalar) del otro.

Este ejemplo es muy fácil, pero la cosa se complica cuando tenemos más de dos vectores y si la dimensión de éstos aumenta. Podemos generalizar el concepto de combinación lineal a la expresión:

u=lv+gw+wz, siendo u, v, w y z, vectores y los coeficientes l, g, w números reales que nos permitan realizar la operación.

Volviendo al ejemplo anterior, podemos ver que:

(2,2)=2(1,1),

es decir, el coeficiente es el valor 2.

Pero ¿qué pasa si tenemos tres vectores?, veamos.

Queremos saber si el vector (2,3) se obtiene como combinación lineal de los vectores (1,1) y (0,2). Vamos pues a utilizar el concepto general de combinación lineal:

(2,3)=l(1,1)+g(0,2)

operando tenemos:

2=l1+g0

3=l1+2g

resolviendo el sistema tenemos que,

l=2

g=1/2

es decir, existen dos coeficientes reales que permiten obtener el vector (2,3) a partir de los vectores (1,1) y (0,2) o lo que es lo mismo el vector (2,3) es combinación lineal de los vectores (1,1) y (0,2) o lo que es lo mismo los vectores (2,3), (1,1) y (0,2) son linealmente dependientes. Las tres definiciones dicen exactamente lo mismo pero con diferentes palabras. Lo importante es reconocer en las tres definiciones que quieren decir lo mismo.

En caso de que los coeficientes tuvieran un valor de cero, esto significaría que los vectores son linealmente dependientes o que no son combinación lineal.

Otra manera de saber si los vectores son o no combinación lineal es hacer el determinante, en caso de que el número de vectores y su dimensión permiten hacer un determinante. ¿Cómo se hace? Podemos poner los vectores en forma de columna y formar la matriz para, posteriormente calcular el determinante.

Pongamos un ejemplo: tenemos los vectores (-1,1,1), (1,-1,1) y (1,1,-1). Queremos saber si los vectores son linealmente dependientes. Para ello, ponemos los vectores en forma de columna hasta formar una matriz de 3x3.

Si calculamos el determinante de esta matriz, vemos que el resultado es 4. Hay una propiedad de los determinantes que nos dice que si hay una fila o una columna que es combinación de las otras, el valor del determinante es cero, en caso contrario el determinante tendrá un valor distinto de cero.

Así pues, los vectores que forman el determinante anterior son linealmente independientes.

Según el número de vectores, es más cómodo usar el determinante, ya que es más fácil calcular un determinante que resolver el sistema de ecuaciones con los coeficientes.
En caso de no poder montar una matriz cuadrada no queda más remedio que resolver el sistema de ecuaciones y determinar los coeficientes.
Espero que os sea de utilidad esta entrada.

Problema tiro parabólico

Hola a tod@s,

En esta nueva entrada de nuestro blog tenéis un video donde se resuelve un sencillo problema de tiro parabólico. Como veréis, en el video no se usan las fórmulas para encontrar el alcance y altura sino que los resultados se deducen a partir de las ya conocidas ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado.

Esperamos que os sea de utilidad.