Dominio de una función

Dominio de una función

Hola,
En esta entrada tenéis un video donde explica com encontrar el dominio de una función. Éste, es el primer paso en el estudio de una función, pero al hallar el dominio podemos encontrarnos con puntos donde aparezcan indeterminaciones. Es por ello, que hemos incluido el dominio ahora y no anteriormente.
El dominio de una función se puede definit como todos aquellos valores reales de x que puedo "meter" en la función de manera que la imagen que salga de estos valores sea un número real.. El principal problema está en las restricciones que nos imponen las funciones que componen la función total. La intersección de estas restricciones será el dominio de la función.
Os hemos puesto un ejemplo, que consideramos sencillo, pero en próximas entradas introduciremos ejemplos más complejos, ya que encontrar el dominio de una función puede ser una tarea muy larga y compleja.
Estamos seguros que os será de gran utilidad!
Gracias

Funciones matemáticas (II)

En esta segunda entrega dedicada a las funciones, se introducen las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Recordar que en la primera entrega se trataron las rectas y funciones polinómicas.

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son aquellas que tienen la forma a^x, siendo a un número y x, la variable. Estas funciones tienen dos características principales, la primera es que siempre crecen y la segunda es que todas ellas pasan por el punto (0,1), ya que, recordemos, cualquier número elevado a cero es uno. También recordar que los valores de y, sea cual sea el valor de x, siempre serán positivos.

Dentro de las funciones exponenciales, podemos tener la situación a^-x, es decir, la variable del exponente es negativa. A esta exponencial se la conoce como exponencial negativa, en contraposición a la anterior o exponencial positiva. La principal diferencia entre ambos tipos de funciones está en que mientras que las exponenciales positivas siempre crecen como hemos visto, las negativas siempre decrecen. Como sucedía con las exponenciales positivas, los valores de la imagen siempre son positivos y todas ellas pasan por el punto (0,1).

Pero la función exponencial más conocida es la y=e^x, siendo e la base de los logaritmos neperianos. Esta función es la que rige el crecimiento de poblaciones, así como numerosos efectos físicos.

Funciones logarítmicas

Las funciones logarítmicas son aquellas del tipo y=log(x), siendo log, el logaritmo en cualquiera de sus posibles bases. El más utilizado es el logaritmo neperiano, que recordemos es el logaritmo en base e.

Cabe recordar que no existen los logaritmos de los números negativos ni del cero, y que el resultado del logaritmo de un número entre 0 y 1 es un valor negativo. Igual que las funciones exponenciales, todas las funciones logarítmicas tienen un punto en común a todas ellas, el (1,0).

En el gráfico siguiente se representan las funciones y=ln(x) e y=log(x), donde ln es el logaritmo neperiano y log es el logaritmo decimal. Se observan las características relacionadas anteriormente.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son las que contienen cualquiera de las expresiones trigonométricas como seno, coseno, tangente….Todas ellas tienen en común que son periódicas en el espacio, esto quiere decir, que se repiten infinitamente. Las más conocidas con el seno y el coseno que tienen forma de onda. Recordar que el valor tanto del seno como del coseno, siempre, está comprendidos entre -1 y 1, mientras que la tangente puede tomar cualquier valor.

Una vez vistas las funciones elementales, solo queda combinarlas entre ellas para formar cualquier función. Como hemos visto, las funciones elementales tienen unas formas concretas que pueden ser deducidas a partir de su expresión. Una vez las combinamos entre ellas, la forma de la función seguirá en cierta medida los patrones de las funciones elementales que las conforman pero, en ningún caso es posible a priori conocer la forma exacta que pueden tener estas nuevas funciones (sí mediante el estudio detallado de la función, pero esto se tratará en una nueva entrada).

A la combinación de las funciones elementales para dar lugar al resto, se le denomina composición de funciones.

Funciones matemáticas (I)

En esta primera entrega referida a las funciones, se repasará el concepto de función, así como algunos de sus tipos más importantes.

Una función matemática se define como una aplicación que asigna a un elemento de un conjunto un valor de un segundo conjunto. Al primer valor se le denomina variable independiente y al segundo valor variable dependiente o imagen.

Por regla general, las funciones de una variable se notan según f(x), siendo x la variable independiente. Las funciones pueden también designarse con la letra y, de manera que y=f(x).

Existen diferentes tipos de funciones según las características de la función algebraica. Los tipos de funciones más importantes son:

Función lineal

Esta función es la que corresponde a la expresión de una recta, de manera que estas funciones se escriben de la forma:

y=ax+b

Donde a es la pendiente de la recta y b el término independiente o punto de corte de la recta con el eje de las y. Cuando el término a es positivo la recta tiene pendiente positiva y por tanto “sube”, mientras que en caso de que sea negativo la pendiente será negativa y por tanto al recta “baja”. En el siguiente ejemplo se ha realizado el gráfico de las funciones y=2x+1 e y=-x+3

Para representar gráficamente una recta solo son necesarios dos valores de la función, de manera que se puede hacer una tabla de valores, donde introduciendo dos valores de x se obtienen los valores de y necesarios para la representación de la función.

Funciones parabólicas

Son funciones de la forma y=ax²+bx+c, y su forma es la de una parábola. Los coeficientes a, b y c, determinan la posición y orientación de la parábola. En estas funciones el coeficiente a siempre tiene que existir, mientras que los otros coeficientes no necesariamente tienen que encontrarse en la expresión de la parábola. La parábola viene caracterizada por sus ramas, por su vértice y por los puntos de corte con el eje de las y. Si el vértice es un máximo las ramas de la parábola se orientan hacia abajo, mientras que si el vértice es un mínimo las ramas se orientan hacia arriba (ver gráfico).

Vamos a analizar cómo es la parábola según la existencia de los coeficientes anteriormente mencionados.

Si sólo existe el parámetro a, existen dos posibilidades según el signo de a. Cuando es positivo las ramas de la parábola van hacia arriba y si es negativo hacia abajo.

El segundo caso es la no existencia del parámetro b, de manera que la expresión de la parábola sea y=ax²+c.

En este caso, el valor de c corresponde al valor de la imagen del vértice la parábola (ver gráfico).

Como se puede ver en el gráfico anterior el valor de c indica la posición del vértice de la parábola.

Por último el caso en el que existen los tres coeficientes, donde se puede ver que el coeficiente b, es el responsable del “movimiento lateral” de la parábola, aunque se tiene que tener en cuenta que su valor no representa el valor que se desplaza la parábola.

Para la representación de una parábola, se necesita la posición del vértice y el corte de la parábola con el eje de las y. El vértice puede calcularse según la expresión:

x_vértice=-b/2a, mientras que el corte con el eje y se calcula igualando a cero la expresión de la parábola.

Funciones polinómicas

Los dos tipos de funciones anteriormente descritos están comprendidas dentro de un grupo mayor de funciones que son las polinómicas, pero se han tratado aparte por su importancia y por tener cada una su nombre concreto.

Las funciones polinómicas se describen según la expresión

y=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+….

Estas funciones, igual que las parábolas se definen por sus puntos de corte y por sus vértices, pero no existe expresión definida para el cálculo de los vértices en una función polinómica. A modo de ejemplo se ha introducido el gráfico de una función polinómica de grado 3.

En la próxima entrada se repasarán los otros tipos de funciones también importantes como son las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.