Núcleo aplicación lineal

Álgebra lineal

Núcleo de una aplicación lineal

Hola a tod@s,
En esta nueva entrada trataremos el cálculo del núcleo de una aplicación lineal. Aunque tenemos una entrada anterior que trata este mismo tema, ahora os colgamos un video con un ejemplo distinto. A diferencia del otro ejemplo, este ejercicio tiene la particularidad que no existen vectores que pertenezcan al núcleo. Lo más importante del ejercicio es ver que no siempre existe núcleo, sino que toda la aplicación puede estar formada por vectores de la imagen de la aplicación.
Para comporbarlo, procedemos igual que el ejemplo anterior, buscando el núcleo resolviendo el sistema homogéneo que forma la matriz de la aplicación. Pero antes de nada, debemos comprobar que tipo de sistema es. Si se trata de un sistema compatible determinado, no existen vectores del núcleo, ya que el sistema tiene una solución. En cambio, si el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas solucions, y es en este caso donde podemos asegurar que existen vectores que pertenecen al núcleo, ya que matemáticamente, los vectores del núcleo son aquellos vectores linealmente dependientes de la aplicación.
Este tipo de problemas pueden enfocarse desde diferentes puntos de vista, pero siempre llegando al mismo resultado. En el video, no entramos en profundidad en todos los aspectos matemáticos que conlleva el estudio de aplicaciones lineales, sino que explica uno de los procedimientos para encontrar los vectores del núcleo y en primera instancia saber si existe o no núcleo de la aplicación.

Gracias

Dimensión de una aplicación lineal

Cálculo de la dimensión del núcleo e imagen de una aplicación lineal

Hola a tod@s,
En esta entrada hemos colgado un video donde se explica como calcular la dimensión del núcleo e imagen de una aplicación lineal. Al tratarse de un tema de álgebra lineal y, por tanto, ser conceptos tan abstractos, en el video se ha tratado de ir a lo práctico, es decir, qué pasos y conceptos hay que saber para encontrar la dimensión de núcleo e imagen, así como encontrar los vectores que forman el núcleo de una aplicación.
Sé que puede ser difícil intentar entender estos conceptos, pero tal y como os comentamos en el video, no os preocupéis, ya que son conpectos que son de esta manera y no es necesario a este nivel, saber de donde salen y para que sirven. Por desgracia, el álgebra lineal, en sus inicios es así de cruel. Es por ello que el video trata de ser lo más práctico y directo posible.
Espero que os sea de utilidad,

Muchas gracias y hasta la próxima entrada

Cálculo de la matriz de una aplicación lineal

Cálculo de la matriz de una aplicación lineal en una base

Hola a tod@s,
En esta entrada colgamos un video donde se explica como obtener la matriz de una aplicación lineal en una base concreta. El ejemplo toma la base canónica al ser la más sencilla y más preguntada en los exámenes.
El video es muy directo y da los pasos de como obtenerla. En otra entrada colgaremos los fundamentos matemáticos de estos cálculos.

Espero que os sea de utilidad,
Muchas gracias!

Aplicaciones lineales

En esta entrada vamos a hacer un problema en el que se pide demostrar que una aplicación es aplicación lineal.
En primer lugar es necesario recordar que es una aplicación lineal. Es una aplicación entre dos espacios vectoriales, de manera que se introduce un vector y a través de esta aplicación se obtiene otro vector. Para que la aplicación sea lineal, es necesario que cumpla las propiedades de la suma de vectores y el producto por un escalar.
Pongamos un ejemplo:
Tenemos una aplicación lineal definida por:

¿Qué quiere decir? Si introducimos vectores de tres dimensiones, mediante la operación de la aplicación obtenemos otro vector de tres componentes. Pongamos por ejemplo el vector (1,2,3):
por la aplicación tenemos que:
f(1,2,3)=(1+2,2.1-3,1+2+3)=(3,-1,6)
Es decir, la imagen del vector (1,2,3) en la aplicación es el (3,-1,6).
Pero fundamentalmente lo que nos van a pedir es que demostremos que se trata de una aplicación lineal. Para ello hemos confeccionado este video en el cual explicamos paso a paso como demostrarlo.