Distribuciones discretas de probabilidad. Esperanza y varianza

Esperanza y varianza de distribuciones discretas de probabilidad

Hola a tod@s,

En esta nueva entrada os adjuntamos un video en el cual os mostramos como calcular la esperanza y la varianza en una distribución discreta de probabilidad. Recordad que una variable aleatoria se dice que es discreta cuando el conjunto de los valores que puede tomar es numerable.

Esperamos que este video os sea de utilidad.

Gracias y hasta la próxima! 

Límites sucesiones

Sucesiones del tipo infinito entre infinito con raíces

Hola a tod@s,

En esta nueva entrada de nuestro blog, os adjuntamos un vídeo con un ejemplo de resolución de los límites de sucesiones que implican a raíces y que tienen como resultado la indeterminación de infinito entre infinito.

Como podréis ver, este tipo de límites tienen una resolución que sigue siempre una misma metódica que consiste en multiplicar y dividir por el término de mayor exponente. Una vez realizada esta operación y mediante operaciones algebraicas, el límite ya puede ser hallado. La complejidad de este tipo de límites reside en que no se puede utilizar la regla de Hôpital, ya que la derivación de raíces siempre da como resultado otra raíz y por tanto se entra en un bucle que no se puede resolver.

Os dejo el enlace al vídeo y esperamos que os sea de utilidad.

Hasta pronto!

Econometría

CONTRASTES DE SIGNIFICATIVIDAD INDIVIDUAL DE LOS PARÁMETROS

Hola a tod@s,

Esta nueva entrada está dedicada al contraste de significatividad de los parámetros de los modelos lineales en econometría. Para ello, hemos colgado un video en el que se resume mediante un ejemplo, los pasos a seguir para contrastar individualmente los parámetros que se obtienen en un modelo mediante mínimos cuadrados ordinarios.

Esperamos que os resulte de utilidad y hasta pronto!

Psicometría

Coeficiente de Fiabilidad

En esta nueva entrada, introduciremos el concepto de fiabilidad en psicometría y se verá un ejemplo numérico en formato video.
El concepto de fiabilidad en psicometría se refiere a aquella propiedad que valora la consistencia y precisión de la medida. De manera, que si la medida toma valores consistentes y precisos, se puede creer en la confianza de los resultados. De todas maneras, se sabe que cualquier medida implica un error.
Según la teoría clásica de los tests, la fiabilidad de un test está relacionada con los errores de medida aleatorios presentes en las puntuaciones obtenidas. Esta misma teoría clásica desarrollada por Spearman, se define el coeficiente de fiabilidad de un test, ,como la correlación entre las puntuaciones obtenidas por un grupo de sujetos en dos formas paralelas del test.
Un test con fiabilidad perfecta, tendría un valor de 1 (máximo valor del coeficiente de correlación). Por tanto, valores inferiores a 1 indican errores aleatorios propios del instrumento de medida.
El coeficiente de fiabilidad puede interpretarse como la proporción de varianza de las puntuaciones verdaderas que hay en la varianza de las puntuaciones experimentales o empíricas.

,
 Otra de las expresiones que permite calcular el coeficiente de fiabilidad, relaciona la varianza de los errores y la varianza de las puntuaciones empíricas según la expresión:


Existen distintos factores que afectan a la fiabilidad como son la variabilidad de los datos, la longitud del test y las características de los ítems.
Una vez visto el concepto de fiabilidad y su cálculo, se adjunta un video de un ejemplo relacionado con el concepto de fiabilidad y su cálculo.

Cualquier duda que tengáis poder poneros en contacto con nosotros en nuestra web.
Gracias

Econometría - Significación estadística

Buenos días a tod@s,

En esta nueva entrada de nuestro blog, os adjuntamos un pdf con la resolución del problema de significación estadística de los parámetros en un modelo estadístico.
Recordemos que un modelo estadístico consiste en la creación de una fórmula que permite encontrar el valor de una variable a partir de la relación de las otras variables. Cada una de estas variables están asociadas a unos parámetros. Estos parámetros son los que van a ser contrastados, para ver si son significativamente estadísticos o no. Para ello, se realiza un contraste de hipótesis para cada uno de los parámetros y se plantea la hipótesis nula y alternativa. El contraste se hace mediante el estadístico t, que es contrastado con un valor crítico con un nivel de significación especificado previamente.
Os dejo el ejemplo con el cálculo del primer parámetro y podéis acabar el ejercicio con el resto de parámetros.

Significación estadística

Estadística descriptiva univariante

Estadística

Introducción a la estadística descriptiva univariante

Hola a tod@s,
En esta entrada trataremos los conceptos básicos en la estadística descriptiva univariante.

Estadística descriptiva

Es aquella rama de la estadística donde las conclusiones que se obtienen de las experiencias o datos en estudio no rebasan los límites de los mismos. Tiene como propósito su representación mediante tablas, gráficos y reducciones de datos. Puede también comprender el análisis de los mismos, siempre que sus conclusiones no trasciendan más allá de dichos datos.

Conceptos básicos de Estadística descriptiva.

Población o Universo Estadístico

- Conjunto formado por todos los elementos que posean una serie de caracteres previamente estipulados. Cada uno de los elementos de la población se denomina individuo y éstos pueden ser simples (hombres, piezas) o colectivos (familias). Toda vez que el número de los elementos de una población objeto de estudio estadístico, en la mayoría de los casos es muy numeroso, resulta caro y engorroso el estudio de los mismos, por lo que se recurre a un subconjunto representativo de la población.

Muestra

- Para evitar un estudio, a veces imposible, de una población debido a su gran número de individuos, se suele tomar un subconjunto representativo llamado muestra, bajo criterios previamente estudiados, de tal modo que el estudio en dicho conjunto nos permita inducir resultados en toda la población con un grado de certeza ciertamente grande. De la buena elección de la muestra, dependerá la bondad de los datos extraídos para la población.

Tamaño de la población

Obviamente el tamaño es el número de individuos que componen la población o muestra. Lo representaremos por N

Variable estadística

-Denominada también carácter, es una característica o propiedad común a todos los individuos de una población objeto de estudio estadístico. Por ejemplo en una población de personas, el peso podría ser una variable estadística, el color de ojos...etc.

A todos los posibles resultados de una variable estadística se le denominan modalidades o valores de la variable (datos)

Normalmente representaremos por X una variable estadística y por x sus modalidades.

Un ejemplo de variable estadística podría ser el sexo, cuyas modalidades serían varon, hembra. Se trataría de una v.e. con dos modalidades; por el contrario si consideramos la v.e. “estatura”, las modalidades pueden llegar a ser infinitas, dentro de un intervalo.

Las variables estadísticas pueden clasificarse según:

a. Cuantitativas: son aquellas que vienen representadas por un valor numérico. A su vez, las v.e. cuantitativas pueden ser clasificadas en:

a.1. Discretas: la cantidad de modalidades es un conjunto finito.

a.2. Continuas: la cantidad de modalidades es infinito y puede tomar cualquier valor en un intervalo real.

b. Cualitativas: Sus modalidades son atributos no medibles, como por ejemplo, color     de ojos, cara o cruz…

Números complejos

Números complejos

Expresión y operaciones básicas

Hola a tod@s,

En esta nueva entrada del blog haremos una introducción a los números complejos, sus diferentes formas de expresión y operaciones básicas. Muchos de vosotros os encontraréis con ecuaciones de segundo grado que no tienen solución al encontrar una raíz de un número negativo. Es como consecuencia de este problema que aparecen los números complejos. Los números complejos se utilizan para dar solución a este tipo de ecuaciones. Pensad que los números complejos explican situaciones cotidianas como el muelle de un bolígrafo. Sí, los números imaginarios son capaces de explicar el mundo real. Esto se debe a que el conjunto de los números complejos contiene al conjunto de los números reales. De hecho, un número real no es más que un número imaginario sin parte imaginaria. Es por ello la grana importancia que tiene el estudio y conocimiento de este tipo de números.

Para explicar en qué consisten y sus operaciones os adjuntamos un video en el que hacemos una introducción a este conjunto de números. En posteriores entradas, ampliaremos los conceptos y operaciones de los números complejos.

Microeconomía (elasticidad de la oferta)

Microeconomía

Elasticidad de la oferta

En esta nueva entrada de la serie dedicada a la elasticidad, se tratará el tema de la elasticidad de la oferta. Ésta informa de la sensibilidad de la oferta cuando el precio del bien cambia.

Como todas las elasticidades, su valor se calculará a partir de la derivada de la cantidad ofertada respecto al precio, según la expresión:

Así pues, según el valor de la elasticidad se pueden dar los siguientes casos:

Valor elasticidad	Tipo elasticidad
Mayor que 1	Oferta elástica
Menor que 1	Oferta inelástica
Igual a 1	Oferta unitaria
Igual a 0	Oferta rígida
Igual a infinito	Oferta perfectamente elástica

Adjuntamos también los gráficos correspondientes a cada uno de los casos:

Ejemplo:

A un precio de 500 u.m. el número de unidades que la empresa USB ofrece en el 

mercado 4.250 unidades del único bien que produce. Al aumentar el precio a 540 u.m., el 

volumen total de unidades ofrecidas en el mercado es de 4.900. Calcular el valor de la elasticidad y decir de que tipo se trata.

En este caso, no es necesario utilizar la derivada, ya que las diferencias entre bien ofertado y precio se nos da como incrementos, no como funciones. De esta forma, la expresión anterior queda definida como:

Sustituyendo los valores:

Al ser el valor superior a 1, se trata de una oferta elástica,  lo que significa que una variación porcentual del precio provoca una variación porcentual mayor y de igual signo en la cantidad ofertada. 

Microeconomía (elasticidad de la renta)

Microeconomía

Elasticidad de la renta

Continuando con las entrada anteriores dedicadas a la elasticidad, en esta entrada trataremos la elasticidad de la renta.

La elasticidad de la renta da información del cambio en la demanda ante variaciones de la renta de los consumidores.
La expresión utilizada para el cálculo de la elasticidad de la reta es:

Según el valor de la elasticidad pueden darse los siguientes tipos de elasticidad de la renta:

1. Elasticidad de la renta nula: el valor de la elasticidad es 0. Esto indica que la demanda del producto no se ve afectada por un cambio en la renta. Se trata de un bien de primera necesidad.
2. Elasticidad de la renta negativa: el valor de la elasticidad de la renta es menor que 0. Indica que si el valor de la renta aumenta, disminuye el valor de la demanda. Son los llamados bienes inferiores.
3. Elasticidad de la renta positiva: el valor de la elasticidad de la renta aproximadamente 1. En este caso si aumenta la renta, también aumenta la demanda. Son los bienes normales.
4. Elasticidad de la renta positiva: el valor de la elasticidad es mayor que 1. Igual que el caso anterior, pero más acentuado. Son los bienes de lujo.

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Formas resonantes de un carbanión y su estabilidad

Hola a tod@s,

Hoy tratamos de nuevo un tema de Química Orgánica: las formas resonantes de un carbanión y su orden de estabilidad.

En primer lugar, debemos recordar que las formas resonantes son sólo representaciones y no tienen existencia real. Es decir, nuestra molécula o ión en realidad nunca existe como una de sus formas resonantes sino como un "promedio" de todas ellas, en el que tienen más peso las que son más estables. De ahí la importancia de analizar su estabilidad. La comprensión de las formas resonantes que posee una molécula o ión puede explicar mucho del comportamiento y estabilidad de ésta.
Por eso ya os anticipamos, por si no os habéis dado cuenta ya, que las formas resonantes son un tema importantísimo e ineludible en Química Orgánica.

Os dejamos la explicación mediante un vídeo en el que resolvemos un ejercicio con detalle:

Y por si os queréis descargar la presentación.

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Microeconomía (elasticidad cruzada)

Microeconomía

Elasticidad cruzada

Hola a todos,

En esta nueva entrada trataremos la elasticidad cruzada. En la entrada anterior se definió el concepto de elasticidad, los tipos de elasticidad que podíamos encontrar y tratamos la elasticidad de la demanda. Siguiendo con los tipos que enumeramos en el post anterior, continuamos con la elasticidad cruzada.

La elasticidad cruzada puede definirse como aquel tipo de elasticidad que nos informa del cambio en la demanda de un producto si cambia el precio de otro. Es decir, cual es la influencia entre oferta-demanda de dos productos distintos.

Para poner un ejemplo que sea fácilmente comprensible, imaginemos que el precio de la mantequilla aumenta. Esto puede ocasionar un aumento en la demanda de margarina. 

Matemáticamente, la elasticidad cruzada se expresa como:

Aunque esta expresión parezca complicada, cuando veamos un ejemplo, se verá mucho más claro. Solo recordar que cuando se calculan derivadas parciales, tener en cuenta que se deriva solo la variable que se quiere derivar, dejando el resto como constantes.
Según el valor de la elasticidad cruzada, se tienen los siguientes casos:

1. Elasticidad cruzada nula: cuando ésta tiene un valor de 0. Los bienes no tienen ningún tipo de relación. Se les llama bienes independientes.
2. Elasticidad cruzada positiva: cuando la elasticidad tiene un valor superior a 0. En este caso si aumenta el precio de uno de los bienes, aumenta la demanda del otro. A éstos se les llama bienes sustitutivos.
3. Elasticidad cruzada negativa: el valor de la elasticidad es menor que 0. Al aumentar el precio de un bien, disminuye la demanda del otro. Son los bienes complementarios.

Ejemplo:

Sea una función de demanda X que depende de los bienes Y, Z y U, según la relación: X=3Px-2Py+10Pz-3Pu. Sabiendo que Py=5, Pz=2 y Pu=6. ¿Cual es, para Px=15, la elasticidad cruzada de X con respecto a U?

Como podéis ver, se nos pide como cambia la demanda si el precio del bien X es de 15. Es decir, como influye el valor de X en el bien U.

Para calcular la elasticidad cruzada usaremos la expresión:

Ahora, debemos recordar que la derivada parcial de X respecto a Pu, implica que el resto de variables son constantes, por lo que su derivada es 0 (recordemos que la derivada de una constante es 0). De manera que:

Al ser el valor de la elasticidad menor que 0, podemos afirmar que los bienes X y U son complementarios.

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Integrales impropias

Integrales impropias

Hola a todos,

En esta nueva entrada trataremos las integrales impropias. Las integrales impropias son aquellas en las cuales, los límites de integración valen infinito o alguno de los límites es un punto de discontinuidad de la función.

Aunque parecen más difíciles por el hecho de encontrar puntos críticos de la función, su resolución es la misma que cualquier integral definida, sólo que, serán necesario seguir una resolución muy concreta. Esta resolución es la del paso al límite de la integral. Pero no os asustéis! Para que lo veáis más claro, os dejamos un video donde explicamos cada tipo de integral impropia, como se calcula y un par de ejemplos resueltos.

También os dejamos la presentación en Slideshare por si os interesa tenerla sin recurrir al video.

Integrales impropias

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Microeconomía (Elasticidad de demanda)

Microeconomía

Elasticidad (I)

Hola a todos,

Con esta entrada inauguramos una nueva temática a nuestro blog: la microeconomía. Como sabéis, la microeconomía es aquella rama de la economía que se centra en las pequeñas unidades de decisión, como son las empresa, hogares, individuos.....

Dentro de la microeconomía se tratan matemáticamente diversos conceptos, pero en esta entrada introducimos el concepto de elasticidad. El concepto de elasticidad mide la amplitud de la variación de una variable cuando varía otra variable de la que depende. Este concepto se aplica a las curvas de demanda y de oferta para medir la variación de la cantidad demandada u ofertada a raíz de variaciones de las variables que las determinan.

Existen diferentes tipos de elasticidad, según se aplique a la oferta o a la demanda, de manera que se pueden definir 4 tipos de elasticidad: 

1. Elasticidad de demanda
2. Elasticidad cruzada
3. Elasticidad de la renta
4. Elasticidad de la oferta

Todos los tipos de elasticidad se basan en la variación de una variable respecto a otra, de manera que matemáticamente, la elasticidad se calcula como una derivada.

Veamos como se calcula cada tipo de elasticidad, para posteriormente introducir algunos ejemplos.

1. Elasticidad de demanda

Es aquella elasticidad que proporciona información sobre la variación de la demanda ante los cambio en el precio de un bien y viene determinada por la expresión:

La elasticidad de demanda también informa de cómo reacciona el gasto de los consumidores al variar el precio del bien.
Según el valor de la elasticidad de la demanda tenemos:
1. Si la elasticidad es mayor que 1 (puntos elásticos), el cambio en la cantidad demandada es mayor que en el precio.
2. Si la elasticidad es igual a 1 (elasticidad unitaria), el cambio en la demanda es igual al cambio en el precio.
3. Si la elasticidad es menor que 1 (puntos inelásticos), el cambio en la demanda es menor que en el precio.
4. Si la elasticidad es igual a 0 (demanda perfectamente inelástica o rígida), la demanda no cambia con la variación en el precio.
5. Si la elasticidad vale infinito (demanda perfectamente elástica), la demanda varía sin necesidad de que lo haga el precio.

Una vez vistos los diferentes casos según el valor de la elasticidad de demanda, es necesario ver, cuáles son los factores que la determinan. Éstos son:

• Tipo de bien
• Posibilidad de sustitución del bien
• Como influye el tiempo en la respuesta a las variaciones de precio

Ejemplo 1:

Sea la función de demanda

X=-1000*P+4000

¿Cuál es el valor de la elasticidad para un bien de precio P=2?

En primer lugar, recordar la definición de la elasticidad de demanda:

después se calcula dX/dP= -1000
y para conocer el valor de X en el punto P, sólo es necesario sustituir el valor de P del enunciado en la expresión de la demanda. En este caso X=2000.
Ahora, se sustituyen los valores en la expresión de la elasticidad:

=-1000*(2/2000)=-1

Ejemplo 2:
Un consumidor tiene una función de demanda X+3P=24, ¿qué gasto realiza en el punto de la demanda que tiene una elasticidad de 5?
De la expresión de la demanda, se despeja la X, de manera que X=24-3P
Aplicando la definición de elasticidad de la demanda, se tiene que:



De esta ecuación se despeja el valor de P. En este caso P=6,66
Mientras que sustituyendo en la expresión de la demanda se obtiene que X=4.
Sabiendo que el gasto es el producto de X.P, ya que corresponde a cantidad de demanda por su precio, el gasto es:
Gasto=X.P=4.6,66=26,66

En la próxima entrada se tratarán el resto de elasticidades con ejemplos para cada una de ellas.

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Química orgánica-Reactivos de Grignard

Química orgánica

Reactivos de Grignard

Hola a todos,

Esta nueva entrada de nuestro blog, la dedicaremos a la química orgánica y más concretamente, a los reactivos de Grignard. Estos reactivos son compuestos organometálicos, que se sintetizan a partir de halogenuros de alquilo. La utilidad de estos reactivos es enorme, ya que son usado en múltiples reacciones para la obtención de gran cantidad de compuestos orgánicos.

Para la mayor comprensión de estos reactivos, aquí tenéis una breve presentación, con los conceptos básico y un ejemplo de este tipo de reactivos.

Muchas gracias y visitad nuestra web: www.cqpformacio.com

Modelos discretos de probabilidad II (binomial)

Modelos discretos de probabilidad II

Binomial

Hola a todos,
Siguiendo con la entrada anterior, hemos colgado un video con un ejemplo completo de aplicación del modelo de probabilidad binomial.

En próximas entregas se tratarán los otros modelos discretos de probabilidad.
Si os ha sido de utilidad, visitad nuestro canal de Youtube.

Gracias

Modelos discretos de probabilidad I (binomial)

Modelos discretos de probabilidad I

Binomial

Los modelos probabilísticos discretos son aquellos en los cuales la variable aleatoria toma sólo valores discretos. Estos modelos son muy útiles en situaciones reales en las cuales queremos predecir la conducta de futuras repeticiones de un suceso aleatorio.

Los modelos probabilísticos más usados son: binomial, Poisson e hipergeométrica.

Empezaremos con el modelo binomial:

Este modelo se da, cuando la variable aleatoria da información del número de éxitos al repetir n veces un experimento. Es decir, modeliza un sistema compuesto de n pruebas con dos únicos resultados.

La función de probabilidad que define un modelo binomial en el que la variable aleatoria X sea igual al número de éxitos en los n experimentos se define según:

Asimismo es posible calcular la media y la desviación estándar de una distribución binomial según las expresiones:


y


En la próxima entrada, adjuntaremos varios ejemplos de la aplicación de este modelo discreto de probabilidad.

Propiedades de la tabla periódica II (potencial de ionización)

Propiedades de la tabla periódica (II)

Potencial de ionización

El potencial de ionización es la energía necesaria para arrancar un electrón de la capa de valencia de un átomo, de manera que el átomo se convierte en un ión positivo o catión.

Existen diferentes potenciales de ionización, según la cantidad de electrones que se quieran arrancar. Es decir, el primer potencial de ionización es el requerido para arrancar un electrón, el segundo es la energía para arrancar un segundo electrón y así sucesivamente.

Los factores que influyen en el potencial de ionización son el tamaño del átomo y cuantos electrones le son necesarios al átomo para cumplir la regla del octeto.

El tamaño del átomo influye en la capacidad de atracción electrostática por parte del núcleo sobre los electrones. A menor tamaño del átomo, más cerca están los electrones del núcleo y por tanto mayor atracción, lo que se traduce en potenciales de ionización elevados, ya que es necesario vencer la energía electrostática.

De esta manera el potencial de ionización aumenta hacia la derecha y hacia arriba. De hecho, esta propiedad puede entenderse como la contraria a la electronegatividad y por tanto, el elemento más electronegativo es el que más potencial de ionización necesita. Es decir, la energía de ionización disminuye a medida que se baja en un grupo.

En el gráfico anterior se marca la tendencia del potencial de ionización.

Propiedades de la tabla periódica I (electronegatividad)

Propiedades de la tabla periódica (I)

Electronegatividad

Entre las propiedades de los átomos que forman la tabla periódica, una de las más importantes, quizás, es la electronegatividad.
Se define la electronegatividad como aquella tendencia que tienen los átomos de atraer electrones, cuando está combinado químicamente con otro átomo. Cuanto mayor sea el valor de la electronegatividad, más capacidad de atracción de los electrones.
El concepto de electronegatividad está muy unido a la afinidad electrónica y el potencial de ionización, conceptos que se refieren a la tendencia de captación o cesión de electrones por parte de los átomos.
La electronegatividad aumenta de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba en la tabla periódica, de manera que el elemento más electronegativo de la tabla es el flúor, y por tanto el que mayor capacidad de atracción de electrones tiene. El motivo de su alta electronegatividad es simple de ver. El flúor tiene 9 electrones, de manera que su configuración electrónica es:
1s2 2s2 2p5
los átomos tienen tendencia a completar niveles vacíos para ser el gas noble más cercano a ellos y de esta manera conseguir estabilidad. El flúor, tiene 9 electrones y 9 protones, y necesita un único electrón para completar el orbital p. Éste aspecto, unido a que el flúor es un elemento de pequeñas dimensiones, hace que el núcleo, ejerza fuerza electrostática sobre los electrones que le rodean y a un electrón que se acerque demasiado a él. Ambos aspectos (pequeño tamaño y ausencia de un electrón para llenar el orbital), hacen que el flúor tenga una gran tendencia a atraer electrones hacia él.

Esta capacidad de los átomos de atraer electrones, también determina el tipo de enlace que se formará.
En el caso de tratarse de dos elementos con electronegatividades parecidas, el enlace formado será de tipo covalente (compartición de electrones). Lógico, ya que ambos átomos tendrán la misma capacidad de atraer electrones y por tanto, les es más cómodo compartirlos.
Si los átomos tienen electronegatividades muy diferentes, se formará un enlace iónico. Fácil de ver, ya que uno de los átomos tendrá tendencia a atraer electrones (electronegativo) y el otro a ceder electrones.

Esta diferencia de electronegatividad marca el carácter polar o apolar del enlace. En el caso de electronegatividades parecidas, el enlace es apolar, es decir, no hay una acumulación de carga en ninguno de los dos átomos. Mientras que en enlaces formados por átomos de diferentes electronegatividades, el enlace formado será polar, de manera que existirá una acumulación de carga en ambos átomos.
Adjuntamos un video donde se resume y comenta este concepto de la electronegatividad con algún ejemplo para clarificar y completar los conceptos.

En siguientes capítulos se tratarán otras propiedades de la tabla periódica.

Convergencia de series II

Convergencia de series (II)

Criterio de la raíz

En la entrada anterior se definió el concepto de convergencia de una serie, así como que existen diferentes criterios que permiten conocer si una serie converge a un valor o no.

El criterio del cociente o de d'Alembert, fue el comentado y explicado en la entrada anterior. En esta nueva entrada se tratará el criterio de la raíz o de Cauchy. Este criterio dice que una serie como:

se define C, como:



entonces,
si C < 1, la serie es convergente
si C > 1, la serie es divergente

Para ver como se aplica el criterio de la raíz, se desarrolla un ejemplo a continuación.

Estudiar la convergencia de la serie:



se aplica el criterio de la raíz, de tal forma que:



el valor del límite es 0, de manera que la serie es convergente.
Este criterio se utiliza en el caso de tener términos generales de la serie que contienen expresiones elevadas a n, de tal manera que al aplicar la raíz enésima, este exponente desaparece y permite el cálculo del límite.

Convergencia de series I

Convergencia de series (I)

Criterio del cociente

Una serie, resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. En caso de no tener este límite, la serie es divergente.

Para conocer si una serie es convergente o no, se utilizan diversos métodos, o comúnmente llamados, criterios. En esta entrada se tratará el criterio del cociente o d'Alembert. Este criterio dice lo siguiente:

la serie es convergente.

Ejemplo
Estudiar la convergencia de la serie:




aplicando el criterio del cociente se tiene:


si se opera, aplicando las propiedades de potencias y factoriales, la expresión resultante es:


por lo tanto la serie es convergente, al ser el límite del cociente menor que 1.